La Investigación Matematica

La diferencia entre PROBLEMA matemático e INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA es clara: un problema se termina con su resolución, una investigación, no.

Una INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA es como un terreno que tú empiezas a explorar para darte cuenta que esta tarea no tiene final, porque el campo se ensancha más y más a medida que lo recorres.

Una buena investigación matemática NO SE TERMINA NUNCA. En esto radica su potencial educativo: puedes volver a ella una y otra vez, siempre con un entusiasmo reverdecido. ¡Como con todos los buenos amores!

Una INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA se puede parcelar en una SERIE DE PROBLEMAS, pero si es buena, esta sucesión de problemas no tiene término final. Tú das por concluida la investigación cuando te cansas de ella, pero consciente de que al contestar muchas preguntas has abierto muchísimas más.

Veamos un buen EJEMPLO:
Ejemplo 1: EL PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO

El problema isoperimétrico clásico data de la antigüedad. A parte de su motivación inicial, el problema isoperimétrico se puede enunciar como sigue: entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fij

qué curva (si la hay) maximiza el área de la región que encierra?

← Para → empezar, date cuenta de que una región alargada puede hacerse más redonda, manteniendo fijo su perímetro y aumentando así su área (la cantidad de superficie que encierra)

CUESTIONES EQUIVALENTES:

Se puede demostrar que esta cuestión es equivalente al siguiente problema: entre todas las curvas cerradas en el plano que cierra un área fija, ¿qué curva (si la hay) minimiza el perímetro?

PROBLEMA 1:

Desde el punto de vista matemático, encontramos en los Elementos de Euclides (alrededor del 300 AC) la demostración que entre todos los rectángulos del mismo perímetro el que encierra la mayor área es el cuadrado. ¿Puedes demostrarlo?

Hay matemáticos griegos de la antigüedad que se ocuparon de estos problemas de la isoperimetría. Citemos algunos de ellos:
Zenodoro, quien vivió entre el 500 ac y el 400 ac en Atenas, se refirió al tema en un ensayo, ahora perdido, sobre las figuras isoperimétricas.
Ptolomeo (cerca 90DC, 168 DC) cita este trabajo. Esto lo conocemos por Theon de Alejandría (c. 335DC- 405 DC) -padre de Hipatia -, quien escribió un comentario sobre el trabajo de Ptolomeo, en el cual se hace referencia a Zenodoro.

De Zenodoro podemos rescatar algunos resultados muy interesantes, que se pueden resolver con geometría elemental.¿Te atreves con ellos?

PROBLEMA 2:

Dados dos triángulos con la misma base y el mismo perímetro, el triángulo isósceles tiene el área mayor.

PROBLEMA 3:

Entre los polígonos con el mismo número de lados e igual perímetro el polígono regular tiene el área mayor. ↑Ver solución↑

PROBLEMA 4:

Dados dos polígonos regulares con el mismo perímetro, el que tiene más ángulos tiene el área mayor.

PROBLEMA 5:

El círculo tiene un área mayor que cualquier polígono regular con el mismo perímetro.

PROBLEMA 6:

También, varios autores desde la antigüedad especularon sobre las propiedades optimales de los paneles de abeja.



En dos dimensiones, Carl F. Gauss demostró que la manera de disponer círculos idénticos de modo que tengan la mayor densidad corresponde a un ordenamiento hexagonal, en el cual los círculos son tangentes entre sí, y sus centros se ubican en los vértices de una red hexagonal (panal de abejas). ¿Te atreves a emular a Gauss?

Para SABER MÁS

La historia del PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO

El Problema Isoperimétrico en la Grecia Antigua

Ésta sería una sucesión de pasos típica en una investigación:
Comenzar con una situación y petición simple.
Generar ejemplos.
Buscar pautas y sucesiones.
¿Continúan las pautas de esta manera?
¿Por qué?
¿Hay alguna regla general?
Intenta demostrarlo.

Veamos con otro buen EJEMPLO
Ejemplo 2: LOS DESARROLLOS DEL CUBO

Los poliminós son figuras en el plano construidas con diferentes cantidades de cuadrados congruentes. Fueron presentados al mundo matemático en 1954 por Golomb (profesor de Ingeniería y Matemáticas en la Universidad del Sur de California).

Con ellos se hacen pasatiempos muy populares y apasionantes. El más conocido es el dominó, construido con dos cuadrados congruentes que comparten un lado. Cuando se emplean tres cuadrados, la figura se denomina triminós.

Los poliminós que se pueden obtener con cuatro cuadrados, son los tetraminós. Los que se obtienen con cinco cuadrados son los pentaminós. Los que tienen seis: hexaminós.

Algunos de los hexaminós representan desarrollos en el plano del poliedro regular conocido como cubo o hexaedro.


Desarrollos planos

Una forma de construir un cubo o hexaedro regular consiste en dibujar en cartulina el desarrollo plano, es decir, seis cuadrados adosados de forma que cada dos tienen un lado común, añadir las lengüetas, recortar, plegar y pegar las aristas. El diseño típico es el de la derecha.

Aquí tienes otras composiciones con seis cuadrados. Estudia si se podrá formar con ellos un cubo mediante plegado.


UNA INVESTIGACIÓN más avanzada será obtener todos los posibles desarrollos planos de un cubo. Para conseguirlo es necesario ser muy sistemático. Primero debes conseguir todas las formas de colocar seis cuadrados adosados por el lado y ver con cuáles de ellas se puede plegar para conseguir el cubo. Las siguientes ideas te pueden servir como ayuda:
Sólo hay una forma de colocar dos cuadrados adosados por un lado: recibe el nombre de dominó.
Consigue todas las formas posibles de colocar tres cuadrados adosados por un lado (triminós).
Consigue todos los tetraminós y pentaminós e intenta que no se te olvide ninguno.
Cuando tengas todos los hexaminós, estudia cuáles de ellos se pueden plegar formando un cubo.

Aquí tienes un desarrollo del tetraedro y otro del octaedro.

INVESTIGA el concepto de dualidad, y, a partir de este concepto, INVESTIGA otros desarrollos de estos polidedros regulares.

Para SABER MÁS:
POLIEDROS-REGULARES-1
DUALIDAD
FORMULAS_DE_POLIEDROS

RECUERDA que el uso de las matemáticas para expresar ideas o resolver problemas comprende por lo menos tres fases:
representar de manera abstracta algunos aspectos de las cosas;
manejar las abstracciones mediante reglas de lógica para hallar nuevas relaciones entre ellas, y
ver si las nuevas relaciones indican algo útil sobre las cosas originales.

Examinémoslas PASO A PASO:
1. Abstracción y representación simbólica

El pensamiento matemático comienza con frecuencia con el proceso de abstracción esto es, observar una similitud entre dos o más acontecimientos u objetos. Los aspectos que tienen en común, ya sea concretos o hipotéticos, se pueden representar por símbolos como los números, letras, otros signos, diagramas, construcciones geométricas o incluso palabras.
Todos los números son abstracciones que representan el tamaño de conjuntos de cosas y sucesos, o el orden de los elementos en una serie.
El círculo como concepto es una abstracción derivada de caras humanas, flores, ruedas, u olas pequeñas que se expanden;
la letra A puede ser una abstracción para el área de objetos de cualquier forma, para la aceleración de todos los objetos móviles o para aquellos que tienen una propiedad específica;
el símbolo + representa un proceso de adición, aun cuando uno se encuentre sumando manzanas o naranjas, horas o millas por hora.

Y las abstracciones no se hacen sólo a partir de objetos o procesos concretos; también pueden realizarse con base en otras abstracciones, como las clases de números (los números pares, por ejemplo) Tal abstracción permite a los matemáticos concentrarse en ciertas características de los objetos, además de que les evita la necesidad de guardar continuamente otras en su mente.



En lo que a las matemáticas se refiere, no importa si un triángulo representa el área de un velero o la convergencia de dos líneas visuales sobre una estrella; los matemáticos pueden trabajar con ambos conceptos de igual manera.

El ahorro de esfuerzo resultante es muy útil siempre y cuando al hacer la abstracción se ponga cuidado en no soslayar las características que juegan un papel importante en la determinación de los resultados de los sucesos que se están estudiando.

2. Manipulación de los enunciados matemáticos

Una vez que se han hecho las abstracciones y se han seleccionado las representaciones simbólicas de ellas, los símbolos se pueden combinar y recombinar de diversas maneras de acuerdo con reglas definidas con exactitud.

En ocasiones, eso se lleva a cabo teniendo en mente un objetivo fijo; en otras, se hace en el contexto de un experimento o prueba para ver lo que sucede. A veces, una manipulación apropiada se puede identificar fácilmente a partir del significado intuitivo de las palabras y símbolos de que se compone; en otras ocasiones, una serie útil de manipulaciones se tiene que resolver por tanteo.

Es común que el conjunto de símbolos se combine en enunciados que expresan ideas o proposiciones. Por ejemplo,
el símbolo A para el área de cualquier cuadrado se puede combinar con la letra s que representa la longitud del lado del cuadrado, para formar la expresión A = s². Esta ecuación específica de qué manera se relaciona el área con el lado y también implica que no depende de nada mas. Las reglas del álgebra común se pueden utilizar, entonces, para descubrir que si se duplica la longitud de los lados de un cuadrado, el área de éste se cuadruplica. En sí, este conocimiento hace posible que se descubra lo que le sucede al área de un cuadrado sin importar cuánto varíe la longitud de sus lados y, por el contrario, cómo cualquier cambio en el área afecta a los lados.

El discernimiento matemático en las relaciones abstractas ha aumentado a lo largo de miles de años y todavía sigue ampliándose y en ocasiones se revisa. Aunque las matemáticas comenzaron en la experiencia concreta de contar y medir, han evolucionado a través de muchas etapas de abstracción y ahora dependen mucho más de la lógica interna que de la demostración mecánica. Entonces, en cierto sentido, la manipulación de las abstracciones es casi un juego:

comenzar con algunas reglas básicas,
después hacer cualquier movimiento que las cumpla el cual incluye la invención de reglas adicionales
y encontrar nuevas relaciones entre las antiguas.

La prueba para validar las ideas nuevas consiste en que sean congruentes y se relacionen lógicamente con las demás.
Ejemplo 3: LA ARITMETIZACIÓN DE LAS ÁREAS

El área del rectángulo es igual a la

 

medida de la longitud de la base multiplicada por la medida de la longitud de la altura del rectángulo.

En esta frase estamos dando por supuesta la unidad de referencia, ya que lo que queremos decir es: el número de cuadrados unidad que caben en un rectángulo (área del rectángulo en unidades cuadradas) es igual al producto entre el número de veces que cabe el lado de la unidad en la base (medida de la longitud de la base en unidades el lado del cuadrado), y el número que cabe en la altura (medida de la longitud de la altura) del rectángulo.

Las fórmulas del área de las figuras dependen de la forma y el tamaño de la UNIDAD DE MEDIDA. En la figura podemos ver cómo cambia la fórmula para calcular el área de un rectángulo cuando la unidad de medida pasa de ser cuadrada a ser triangular:



UNA INVESTIGACIÓN que te ayudará mucho a comprender el CONCEPTO DE LA MEDIDA es ir viendo cómo cambian las conocidas fórmulas para el CÁLCULO de áreas de polígonos cuando la unidad es TRIANGULAR.

El esquema siguiente te da una pista de por dónde tirar:



Para SABER MÁS
La Unidad de Superficie: De CUADRADA a TRIANGULAR
¿Cómo cambian las fórmulas al cambiar la forma de la unidad?
Experiencias sobre Proyectos e Investigaciones en Educación Secundaria
3. Aplicación

Los procesos matemáticos pueden llevar a un tipo de modelo de una cosa, a partir de los cuales se obtendrían profundizaciones de la cosa misma.

Cualquier relación matemática que se obtenga por medio de la manipulación de enunciados abstractos puede o no transmitir algo verdadero sobre el objeto que se está modelando.

Por ejemplo, si a dos tazas de agua se agregan otras tres, y la operación matemática abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de azúcar se añaden tres tazas de té caliente y se realiza la misma operación, cinco es una respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado sólo un poco más de cuatro tazas de té muy dulce.

La simple suma de volúmenes es apropiada para la primera situación, pero no para la segunda lo que podría haberse predicho sólo conociendo algo sobre las diferencias físicas en los dos casos. Así, para utilizar e interpretar bien las matemáticas, es necesario estar interesado en algo más que la validez matemática de las operaciones abstractas, así como tomar en consideración qué tan bien se corresponden con las propiedades de las cosas que representan.

Algunas veces, el sentido común es suficiente para decidir si los resultados de las matemáticas son apropiados. Por ejemplo, para calcular la estatura de una joven cuando tenga 20 años si en la actualidad mide 1.63 m y crece a una tasa de 2.54 cm por año, el sentido común sugiere rechazar la respuesta simple de “tasa por tiempo” de 2.13 m como muy improbable, y dirigirse a algún otro modelo matemático, como las curvas que aproximan valores restrictivos.

Sin embargo, en ocasiones, puede ser difícil saber qué tan correctos son los resultados matemáticos por ejemplo, al tratar de predecir los precios en la bolsa de valores, o los terremotos.

Con frecuencia, sucede que una sesión de razonamiento matemático no produce conclusiones satisfactorias; entonces se intenta efectuar cambios en la manera en que se hizo la representación o en las mismas operaciones. De hecho, se dan saltos entre pasos hacia adelante y hacia atrás y no hay reglas que determinen cómo se debe proceder. El proceso avanza típicamente a empujones, con muchas vueltas erróneas y callejones sin salida. Este proceso continúa hasta que los resultados son suficientemente buenos.

Pero, ¿qué grado de exactitud es el suficiente? La respuesta depende de la forma en que se vaya a utilizar el resultado, las consecuencias del error, y el posible costo de modelar y estimar una respuesta más precisa. Por ejemplo, un error de 1% al calcular la cantidad de azúcar en una receta para pastel podría ser insignificante, pero un grado de error similar en el cálculo de la trayectoria de una sonda espacial podría resultar desastroso. Sin embargo, la importancia de la pregunta “suficiente” ha llevado al desarrollo de procesos matemáticos para estimar qué tan lejos podrían llegar los resultados y cuánto cálculo se requeriría para obtener el grado de precisión deseado.

Topologia algebraica

Un toro, uno de los objetos más frecuentemente estudiados en topología algebraica

La Topología algebraica es una rama de la topología (comprensión de las matemáticas​) en la que se usan las herramientas del álgebra abstracta para estudiar los espacios topológicos. El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicas que clasifican los espacios topológicos hasta el homeomorfismo, aunque normalmente muchos se clasifican hasta la equivalencia homotópica.

La meta es clasificar los espacios topológicos. Un nombre antiguo para esta materia era el de topología combinatoria, que ponía el énfasis en cómo un espacio dado X podía construirse a partir de espacios más pequeños. El método básico que se aplica ahora en topología algebraica es el de investigar los espacios por medio de los invariantes algebraicos: por ejemplo aplicándolos, relacionándolos con los grupos, que tienen bastante estructura utilizable, y de manera que se respete la relación de homeomorfismo de espacios.

Las dos formas principales como se hace esto son a través de los grupos fundamentales, o más en general la Teoría de homotopía, y por medio de los grupos dehomología y de cohomología. Los grupos fundamentales nos suministran información básica sobre la estructura de un espacio topológico; pero son a menudo no-abelianos y pueden ser difíciles de usar. El grupo fundamental de un complejo simplicial (finito) tiene una presentación finita.

Los grupos de homología y cohomología, por otra parte, son abelianos, y en muchos casos importantes son finitamente generados. Los grupos abelianos finitamente generados pueden clasificarse completamente y son particularmente fáciles de usar.

Resultados en homología

Varios resultados útiles se siguen inmediatamente de trabajar con grupos abelianos finitamente generados. El rango libre del grupo de n-homología de un complejo simplicial es igual al n-número de Betti, así que se pueden usar los grupos de homología de un complejo simplicial para calcular su característica de Euler-Poincaré. Si un grupo de n-homología de un complejo simplicial tiene torsión, entonces el complejo es no-orientable. Así que la homología "codifica" gran parte de la información topológica de un espacio topológico dado.

Más allá de la homología simplicial, podemos usar la estructura diferencial de las Variedades por medio de la Cohomología de De Rham, o la de Cech o con la cohomología de haces para investigar la resolubilidad de las ecuaciones diferenciales definidas en la variedad en cuestión. De Rham demostró que todos estos tipos de aproximación están interrelacionados y que los números de Betti que se derivan de la homología simplicial eran los mismos números de Betti que aquellos que se derivan de la cohomología de De Rham.

Geofisica

Es la aplicación de los principios y prácticas de la Física para la resolución de los problemas relacionados con la tierra midiendo de modo indirecto las variaciones de las magnitudes físicas en el espacio y el tiempo.

Imagen tomada de:

http://www.gob.mx/cms/uploads/

attachment/file/157796/Que-es-la-Geofisica.pdf

Como ocurre en otras ciencias, la Geofísica se divide en dos partes Geofísica Pura y Geofísica Aplicada.

Se denomina Geofísica Pura a la investigación del planeta en que habitamos con fines de conocimiento científico.

Geofísica Aplicada es el estudio de prospectos de interés económico, buscando anomalías de los campos físicos terrestre utilizando tecnología que le permite obtener algún beneficio para la humanidad.

El objetivo principal y actual de la Geofísica es la determinación de la estructura y composición de la Tierra, así como la historia de sus variaciones pasadas, presentes y futuras.

En la geofísica se distinguen dos grandes ramas:

La Geofísica interna que analiza el interior de la Tierra como son:

Sismología.- Que estudia los terremotos y la propagación de las ondas elásticas (sísmicas) que se generan en el interior de la Tierra. La interpretación de los sismogramas que se registran al paso de las ondas sísmicas permite estudiar el interior de la tierra.

Geotermometría, estudia los procesos relacionados con la propagación de calor en el interior de la tierra, particularmente los relacionados con desintegraciones radioactivas y vulcanismo.

Geodinámica, estudia la interacción de esfuerzos y deformaciones en la tierra que causan movimientos del manto y de la litosfera.

Prospección geofísica, usa métodos cuantitativos para la localización de recursos naturales como petróleo, agua, yacimientos de minerales, cuevas, etc. o artificiales como yacimientos arqueológicos.

Ingeniería geofísica o geotecnia, usa métodos cuantitativos de prospección para la ubicación de yacimientos de minerales e hidrocarburos, así como para obras públicas y construcción en general.

Tectonofísica, estudia los procesos tectónicos.

Vulcanología, es el estudio de los volcanes, la lava, el magma y otros fenómenos geológicos relacionados.

La Geofísica externa estudia las propiedades físicas del entorno terrestre.

Geomagnetismo, estudia el campo magnético terrestre, tanto el interno generado por la propia tierra como el externo, inducido por la tierra y por el viento solar en la ionosfera.

Paleomagnetismo, se ocupa del estudio del campo magnético terrestre en épocas anteriores del planeta.

Gravimetría, estudia el campo gravitatorio terrestre.

Oceanografía u Oceanología, estudia el océano.

Meteorología, estudia la atmósfera y el tiempo atmosférico, circunscribiéndose a la Tropósfera.

Aeronomía, es la ciencia que estudia las capas superiores de la atmósfera.

Climatología, estudio del clima terrestre actual y en el pasado geológico.

Estudio de la ionosfera y magnetosfera.

Clasificación de los métodos geofísicos

Todos los métodos geofísicos estudian la repartición en profundidad de alguna determinada propiedad físico-química de las capas del subsuelo, o de alguna característica relacionada con dichas propiedades.

1.- Método gravimétrico- Está basado en el campo natural de la gravedad y estudia la variación de la componente vertical del campo gravífico terrestre.

Las pequeñas variaciones o anomalías de la gravedad debida a estos hechos u otros análogos podrán ser detectados con instrumentos adecuados.

El método gravimétrico se emplea como método de reconocimiento general en prospección petrolífera, mientras en minería se suele emplear, generalmente como método de comprobación.

2.- Método magnético- La tierra es un imán natural y da lugar al campo magnético terrestre. Las pequeñas variaciones de este campo, pueden indicar la presencia en profundidad de sustancias magnéticas, que en algunos casos pueden ser minerales de interés comercial como la magnetita, la pirrotina, la ilmenita, la jacobsita, etc. También, existen minerales de interés asociados a sustancias magnéticas, como por ejemplo los sulfuros de Cu, Pb y Zn que frecuentemente se presentan con pirrotina u otros minerales magnéticos.

Los métodos magnéticos se utilizan como métodos de reconocimiento general en prospección petrolífera y de reconocimiento y detalle en prospección minera.

3.- Métodos sísmicos- Produciendo artificialmente, un pequeño terremoto y detectando los tiempos de llegada de las ondas producidas, una vez reflejadas o refractas en las distintas formaciones geológicas, podremos llegar a una imagen muy aproximada de las discontinuidades sísmicas. Estas discontinuidades coinciden, generalmente, con las discontinuidades estratigráficas.

Los métodos sísmicos se dividen en dos clases: de reflexión y de refracción.

El método sísmico de reflexión es el más empleado en prospección petrolífera y es un método de detalle.

El método sísmico de refracción es un método de reconocimiento general y de detalle, sobre todo en prospección petrolífera, pero su empleo es más reducido.

4.- Métodos eléctricos- Utilizan las variaciones de las propiedades eléctricas, de las rocas, y minerales, en general su resistividad. Generalmente, excepto en los métodos autopotencial, telúrico y AFMG que utilizan campos eléctricos naturales, emplean un campo artificial eléctrico creado en la superficie, por el paso de una corriente en el subsuelo.

Nociones útiles en geofísica

Noción de escala espacial y temporal- Un estudio geofísico está definido de un espacio que depende del objeto estudiado. A veces las medidas se hacen a lo largo de un perfil o dentro de un bloque 3D, pero generalmente están adquiridas de manera puntual dentro de una malla (cuadricula) con un espacio entre medidas especifico y función de la precisión deseada.

En geofísica, la dimensión de los campos pueden extenderse dentro de 5-6 órdenes de magnitud, desde la escala pequeña (de 1 hasta 10 metros) para la ingeniería civil o al arqueología hasta una escala de 10.000 km. para un estudio global (espacio entre malla: 10 km).

La escala temporal va desde el segundo hasta el millones de años.

Medida y precisión sobre la medida – Una medida tiene interés solamente si conocemos el margen de error que puede tener esta medida siempre, buscamos una señal dentro de un ruido. Lo que vamos a interpretar, es una colección de datos, el muestreo tiene que ser de acuerdo con la dimensión del objetivo a alcanzar.

Tipos de errores:

-error de los aparatos de medición

-error de los operadores

-error efectuado dentro de las correcciones de las medidas (como la corrección de posición o topográfica)

-error aleatorio

-error sistemático como un ruido ambiental (electrónico, meteorológico, carretera….)

-error de muestreo

La precisión sobre la medida representa un factor importante para poder interpretar cualquier señal dentro de un ruido y dependen del objetivo a alcanzar. El geofísico siempre busca el mejor cociente señal sobre ruido a través del procesamiento

La precisión sobre la medida es diferente de la resolución de los aparatos. La precisión incluye también todos los parámetros antes mencionados.

Noción de modelo – A partir de las medidas de superficie, el geofísico va a establecer una estructura teórica que podrá acercarse lo más posible de las medidas. Tal estructura se llama un modelo.

-Si aumentamos los datos (un mallado más fino o complemento de datos de otro método), podemos afinar el modelo y mejoralo.

-Nunca el modelo es único. En teoría, siempre va a existir una infinidad de modelos que puedan explicar una serie de datos. En realidad, el número de modelo va a ser limitado para que sea aceptable de un punto de vista geológico.

-Es importante definir la escala del modelo.

Noción de anomalía- Por definición, la anomalía representa la diferencia entre el valor medido en un punto de un parámetro y el valor teórico de este mismo parámetro en el mismo punto. El cálculo del valor teórico se hace mediante un modelo teórico.

Se habla también de anomalía del subsuelo cuando un cuerpo ajeno se encuentra dentro de un medio encajante.

La interpretación de las anomalías se hace mediante un modelado, 2 métodos para hacer este modelado:

-método directo: parte de un modelo inicial del subsuelo - calculamos a partir de este modelo los datos teóricos y los comparamos con los datos reales

-método inverso o inversión: parte de los datos reales – calculamos a partir de los datos reales un modelo teórico – calculamos a partir de este modelo los datos teóricos y los comparamos con los datos reales.

Siempre que no coinciden los datos reales con los teóricos, modificamos el modelo inicial hasta que coinciden. Por iteraciones sucesivas, decimos que vamos ajustando el modelo.

Bibliografía:

-Tratado de Geofísica Aplicada; José Cantos Figuerola 2da. Edición

http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/

klarica/Clases/INTRODDUCCION_A_LA_GEOFISICA.pdf

Nociones

http://www.herrera.unt.edu.ar/geofisica/

Sismologia%20para%20Ingenieros.pdf

La teoría matemática del sistema

CONCEPTO.-

Una teoría matemática es una representación, en términos matemáticos, de proposiciones que describen el comportamiento actual dentro de un sistema. Esto se da en un intento por describir el sistema real; claramente el intento está sujeto a examen y una teoría es aceptable o no de acuerdo con cuán bien sobrepasa el examen correspondiente.

Después de la segunda guerra mundial, a través de la teoría matemática se aplicó la investigación operacional, para la resolución de problemas grandes y complejos con muchas variables.
La teoría matemática de sistema se relaciona con los conceptos de información y entropía de la información, sistemas de comunicación, transmisión de datos, así como la teoría de la distorsión de la transferencia, criptografía, relaciones señal-ruido, control, compresión de datos y temas relacionados.
El estudio de las matemáticas como disciplina independiente ha permitido que ésta avance a una velocidad sin precendente, pero un desarrollo de esta índole plantea interrogantes inquietantes, por ejemplo: ¿cuál es la naturaleza de la matemática?, ¿cuál es su objetivo?, ¿cuáles son sus métodos?, etcétera.

Investigación de Operaciones.

Durante una época el cálculo convencional y métodos sencillos fueron suficientes para resolver los problemas que se presentaban. Pero cuando la industrialización trajo consigo la producción en masa y con ello el crecimiento en el tamaño y en la diversidad de los problemas a resolver, hubo que crear técnicas más sofisticadas. Fue durante la segunda guerra mundial (de ahí el nombre de Investigación de Operaciones militares) que dio inicio unarevolución, la cual aún continua, en el desarrollo de las técnicas matemáticas de carácter algorítmico-numéricas, para la solución de este tipo de problemas. Con la invención y la evolución de la computadora, es ahora posible resolver complejos problemas de optimización, de logística, o simular múltiples escenarios para un proceso, en períodos de tiempo que hace sólo algunas décadas hubieran sido inconcebibles. Dentro de las técnicas más usadas en la investigación de operaciones se puede citar a la optimización clásica, la programación lineal y no lineal, la teoría de control óptimo, lasimulación, las técnicas heurísticas y la teoría de redes entre otras.

Últimamente ha tomado auge una nueva especialidad. La Matemática Educativa, que ofrece un enfoque, desde el punto de vista de las teorías delconocimiento, para la aplicación de técnicas didácticas en la enseñanza de las matemáticas, facilitando así su comprensión.

Para comprender más el tema trataremos temas relacionados con:
La teoría matemática de la información
La teoria matemática del control

LA TEORÍA MATEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN
Es de aceptación general que la disciplina de la teoría de la información comenzó con la publicación del artículo de Claude E. Shannon "La Teoría Matemática de la Comunicación" (The Mathematical Theory of Communication).

Claude E. Shannon es conocido como el padre de la teoría de la información. Su teoría considera la transmisión de la información como un fenómeno estadístico y ofrece a los ingenieros en comunicaciones una forma de determinar la capacidad de un canal de comunicación en términos comunes de medida llamados bits.

La parte de la teoría que hace referencia a la transmisión no está relacionada con el contenido de información o el mensaje en sí mismo, aún cuando el lado complementario de la teoría de la información se preocupa con el contenido a través de la compresión con pérdida de los mensajes sujetos a un criterio de fidelidad. Estas dos ramas de la teoría de la información están unidas y justificadas mutuamente por los teoremas de transmisión de información, o los teoremas de separación de canal de origen que justifican el uso de bits como el formato universal de información en diversos contextos.

En la teoría de Shannon y Weaver la cantidad de información contenida en un mensaje se define en función de la frecuencia relativa de utilización de los diferentes símbolos que lo componen:


a.- Los mensajes son transmitidos desde la fuente al usuario por una vía de comunicación,


b.- para que el mensaje pueda recorrer esa vía debe ser codificado,


c.- y luego, descodificado para que lo comprenda convenientemente el destinatario.


El problema está en la transición de los símbolos del mensaje que entró a los del mensaje que salió. Esta posibilidad de imperfección se llama ruido. Sin ruido, la canti dad de información de un mensaje es la misma a la salida que a la entrada. Con ruido nacen la ambigüedad y los equívocos. Para evitarlos habrá que transmitir el mensaje con redundancia, aunque esto suponga una pérdida relativa de información. La principal objeción que desde el primer momento presentó su Teoría matemática de la Comunicación fue la de no considerar los aspectos relativos al significado de los mensajes, por lo que debemos considerar el cuerpo especulativo al que abrieron paso como una teoría de señales, no como una auténtica teoría de la información.

Aún manteniendo una postura de equilibrada duda al contemplar que las aplicaciones hechas con efectividad se habían limitado a fenómenos particulares, Jean-Bernard Mari -no analizó la posibilidad de nuevas aplicaciones de cada una de ellas, principalmente a través de las bases de datosaccesibles. Distribuyó en tres bloques las aplicaciones de la teoría matemática:

1. Indización mediante tarjetas perforadas: en la década de 1950 Garfield indizó documentos biomédicos mediante tarjetas perforadas. Los codificó de tal manera que el número de perforaciones coincidía con la frecuencia de uso de los descriptores en el total del glosario. Los descriptores más utilizados recibían así la codificación más breve.

2. Evaluación de los resultados de un sistema documental : se trata de desligar el sistema de salida del sistema de entrada, transmitiendo por una vía con ruido. Los mensajes recibidos tenían una triple codificación y su probabilidad de ser recuperados dependía de una tabla de contingencias. Fue utilizado por Meetham, Belzer, Cawkel y Guazzo.

3. Indización por frases: Briner aplicó los conceptos de la teoría matemática a los components gramaticales de un texto escrito, deduciendo una capacidad de transmission del conocimiento por palabra análoga a la fórmula que cuantifica la capacidad de una vía. Para las palabras ambiguas Briner amplió el principio a indización de la frase entera que las contenía.




LA TEORIA MATEMÁTICA DEL CONTROL

En la Teoría Matemática del Control, comenzaremos con algunas consideraciones históricas generales sobre sus orígenes y evolución. Más adelante, describimos algunos elementos centrales de la Teoría y diversos avances recientesque se caracterizan tanto por su interées Matemático como por su transcendencia desde un punto de vista social, tecnológico e industrial. Por ´ultimo mencionamos algunos problemas abiertos y los retos que se plantean en esta disciplina para un futuro inmediato.

La esencia de la Teoría del Control está inspirada en algunas nociones que a todos nos resultan familiares. Una de ellas es la de "feedback". Este término se incorporó a lo que hoy conocemos como Teoría del Control en los años 20 por los ingenieros del "BellTelephone Laboratory".La traduccióndel término "feedback" al castellano produce palabras mucho más largas tales como "realimentación" o "retroalimentación".

La Naturaleza nos ofrece ejemplos difíciles de mejorar en este terreno. Basta simplemente observar el ritual del depredador que acecha a su presa. Hoy en día la noción de feedback es también común en Biología, Psicología, etc. El principio de causa-efecto ha dejado de entenderse como un fenómeno estático y se aborda ahora desde una perspectiva dinámica a causa de los mecanismos de "feedback". Estamos frente al principio causa-efecto-causa.

Otra de las nociones que subyace en todo lo que hoy puede considerarse parte del ámbito de la Teoría del Control es la de "optimización". La optimización es una técnica que tiene como objetivo aumentar o mejorar el valor de una variable que, en la práctica, puede tomar las formas más variadas: temperatura, flujo de aire, velocidad, rentabilidad, beneficio, información, capacidad de destrucción, etc.

Las técnicas de optimización son tan variadas que resulta imposible hacer una presentación global y unificada de todas ellas. Por otra parte, latecnología informática y de la computación han jugado un papel crítico en las aplicaciones de las técnicas de optimización, tal y como ocurre en el control óptimo de cohetes y proyectiles. En efecto, en vista de la complejidad de los sistemas a los que la Teoría del Control ha de hacer en la actualidad, es imposible realizar una implementación eficiente los métodos de control, sin previamente realizar un riguroso trabajo de simulación numérica.

Dentro del amplio abanico de teorías, técnicas y problemas que podemos enmarcar en el contexto de la optimización cabe mencionar la teoría dejuegos, la programación lineal y nolineal, la teoría del control, etc.

Hemos ya mencionado las dos grandes ideas que han servido de inspiración y de motor a la Teoría del Control: el mecanismo de feedback y la optimización.

Otro de los términos ligados a la Teoría matemática del Control y de la Optimización es el de "cibernética", propuesto por el físico francés A.M Ampére en el siglo XIX en su clasificación de las Ciencias para referirse a la aún no existente ciencia del control de los procesos. Este término fue rápidamente olvidado hasta que en 1948 el matemático americano Norbert Wiener lo adoptó como título de su libro. Wiener definió la cibernéticacomo "la ciencia del control y de la comunicación en animales y máquinas". Esta definición relaciona la cibernética con la Teoría del Control y laFisiología del sistema nervioso.

El "sueño" de Wiener estaba basado en la idea de que surgiría una creciente sinergia entre el ser humano y la máquina que abarcaría tanto la Matemática como la Psicología: La máquina al servicio del ser humano, imitando al ser humano. Hace unas décadas todo esto no dejaba de parecer un sueño ingenuo. Sin embargo, hoy la situación es completamente distinta pues los

desarrollos en la tecnología de la computación han hecho posible un sinfin de nuevas aplicaciones, en robótica, visión por ordenador, etc.

El control del caos teoría matemática que se ocupa de los sistemas que presentan un comportamiento impredecible y aparentemente aleatorio aunque sus componentes estén regidos por leyes estrictamente deterministas es un tema de gran actualidad. Los puntos de vista son a veces duales o incluso contrapuestos. La naturaleza caótica de un sistema puede ser un serio obstáculo para su control pero también puede convertirse en un aliado. Por ejemplo, las impresionantes piruetas a las que estamos acostumbrados en las trayectorias de aviones de combate, están basadas en el control a lo largo de trayectorias inestables. Es sin duda sumamente difícil controlar un vehículo de este tipo. Pero las posibilidades que se le presentan a un piloto experto son muy diversas e insospechadas. Precisamente en el campo de la aeronáutica, el control de la turbulencia juega un papel fundamental.


CONTROLABILIDAD VERSUS OPTIMIZACIÓN


(un modelo teórico matemático)

De manera general, podría decirse que el objetivo central de la Teoría del Control es proporcionarestrategias para conducir el proceso que nos ocupe a un objetivo deseado y/o prescrito. Tareas tales como la colocación de un satélite en la órbita adecuada, la reducción del ruido en los vehículos detransporte o la estabilización de estructuras, son problemas propios de la Teoría del Control.

Tanto si adoptamos un punto de vista frecuencial como si optamos por modelizar el fenómeno en cuestión a través de ecuaciones diferenciales, la cuestión acaba siendo por tanto conducir el estado, la variable que nos interesa, al objetivo prefijado mediante la elección de un mecanismo de control adecuado.

Existen sin embargo dos matices que pueden diferenciar en la práctica de un modo significativo los problemas que habremos de afrontar. En los problemas de controlabilidad nos interesa descifrar si el objetivo prescrito puede efectivamente alcanzarse de manera exacta y, si esta cuestión admite una respuesta afirmativa, cual es el tiempo mínimo en el que esto es posible, cual es el control menos costoso, etc.


Cuando abordamos el problema desde el punto de vista de la Optimización o Control Optimo la cuestión se plantea desde otra perspectiva: conindependencia de que el problema de la controlabilidad admita una respuesta afirmativa o negativa, buscamos un buen control, que nos aproxime lo más posible al objetivo prescrito y, éso sí, manteniendo el control dentro de los márgenes de costo admisibles.

Se trata pues de un planteamiento aparentemente más modesto puesto que se renuncia a la "búsqueda de la perfección". Pero se trata de un punto de vista sumamente realista. En la práctica, este segundo planteamiento puede proporcionar resultados muy satisfactorios y ésto mediante técnicas matemáticas menos sofisticadas.

Pongamos un ejemplo sobre el que cualquier persona familiarizada con la resolución de sistemas lineales debería poder reflexionar.

En este ejemplo el estado es simplemente un vector x = (x1, x2, · · · , xn) de IRn y éste está gobernado por la ecuación de estado

[3.1] Ax = b

Donde A es una matriz cuadrada n × n. Para simplificar el problema supongamos que A es no singular o incluso simétrica, definida positiva, etc. El vector b que aparece en el Segundo miembro de la ecuación es el control del que disponemos. La ecuaci´on (3.1) es pues la ecuación de estado que describe el modo en que el control b actúa sobre el estado x. Obviamente, como

el sistema en cuestión es inversible, tenemos x = A−1b, pero no es este el punto de vista que nos interesa pues, en la práctica, la ecuación de estado no es f´acil de resolver y/o invertir.

Nos imponemos entonces como objetivo que la primera componente del estado x1 coincida con un valor prescrito x"1 . Es decir, imponemos la condición adicional


[3.2] x1 = x1*


El problema de control se reduce entonces a buscar b є IRn de modo que la solución de (3.1) satisfaga (3.2). Esto es evidentemente posible. Basta por ejemplo imponer que x = (x*1 , 0, · · · , 0) y tomar como b el vector resultante de la operación Ax. Pero este procedimiento, basado en el diseño directo del estado que realice el objetivo deseado sin necesidad de buscar previamente el control, en la práctica, es frecuentemente irrealizable. En efecto, en los problemas reales, hemos de elegir primero el control y entonces el estado viene dado como solución de la ecuación de estado o, si se quiere, como la respuesta del sistema al control introducido.

El problema de control propuesto es por tanto trivial. Disponemos de tantos controles (las n componentes de b) como de componentes del estado a controlar o incluso de más pues, en este caso, sólo pretendíamos controlar la primera componente x1.

¿Pero qué ocurre cuando vamos disminuyendo el margen de maniobra del control? ¿Qué ocurre por ejemplo si b1, · · · , bn−1 están fijos y sólo disponemos del parámetro bn para controlar el sistema?

Desde un punto de vista matemático la cuestión se formula del modo siguiente. En esta occasion


[3.3] Ax = c + b’


Donde c ε IRn es un vector fijo dado y b’ un vector columna de componentes (0, . . . , 0, bn), i.e. !b = bne, donde e es el vector unitario (0, . . . , 1). El problema de la controlabilidad consiste entonces en estudiar si existe una elección adecuada de bn que garantice que la solución x de (3.3) satisface (3.2)

La cuestión es ahora mucho menos obvia, pero en este caso tan simple no es difícil resolverla.

La solución x de (3.3) se puede descomponer de la siguiente forma


[3.4] x = y + z

donde

[3.5] y = A−1c

y z satisface


[3.6] Az = bne; i. e. z = bnz", con z" = A−1e.

Si adoptamos el punto de vista de la optimización o del control óptimo estas dificultades desaparecen. Supongamos por ejemplo que el valor k > 0 es una cota razonable del control bn que en la práctica podemos implementar. En este caso la mejor respuesta posible al problema de control se obtendría minimizando el funcional cuadrático.


[3.7] J(bn) =| x1 − x"1 |2

en el intervalo cerrado y acotado

[3.8] Ik = [−k, k].


Como J depende continuamente de bn, se deduce inmediatamente la existencia de un control óptimo bkn ε Ik que minimiza la distancia entre la primera componente de la solución x1 y el objetivo x1*.

Vemos por tanto que el problema de control óptimo se resuelve de manera mucho más simple.

Este punto de vista es sumamente natural y acorde al sentido común. Ya L. Euler decía:

"El universo es de lo más perfecto y está diseñado por el creador más sabio. Nada ocurriría sin que destaque, de alguna manera, la presencia de una regla máxima o mínima."

Pero analicemos con un poco más de detalle las relaciones que se presentan en estos dos planteamientos. Se pueden hacer las siguientes observaciones:
Si la propiedad de controlabilidad se cumple, para k suficientemente grande, la solución al problema de control óptimo producirá la solución exacta buscada para el problema de controlabilidad.
Cuando el objetivo x1* no es alcanzable, el problema de optimización nos proporciona, de todas maneras, la mejor solución posible.
La resolución del problema de optimización y el análisis de la evolución del mínimo del funcional J en el intervalo Ik a medida que k crece puede ser de hecho un test para la propiedad de la controlabilidad. Cuando este mínimo se estabiliza en torno a una constante positiva a medida que k aumenta podemos sospechar, de manera fundada, que estamos frente a un caso en que el objetivo x1* no es alcanzable.


PERSPECTIVAS DE LA TORÍA MATEMATICA DE SISTEMA

Son muchos los campos de la Ciencia y Tecnología donde se presentan retos para la TEORIA MATEMATICA DE SISTEMAl. En algunos casos se confía en ser capaces de resolverlos mediante avances tecnológicos que permitan la implementación de controles más eficientes. Es el caso por ejemplo del control

molecular mediante tecnología láser. Pero tanto en ésta como en otras muchas aplicaciones se necesita también de importantes avances teóricos. En esta sección mencionamos brevemente algunos de estos temas y los problemas que se plantean:
Grandes estructuras espaciales. Es frecuente escuchar que el despliegue de una antenna o telescopio en el espacio ha ocasionado algunos problemas técnicos, algunos de ellos sumamente costosos o incluso que han inutilizado completamente la estructura. Estas estructuras se caracterizan por contener componentes flexibles de gran tamaño, la interconexión de numerosas componentes y el acoplamiento de componentes rígidas y flexibles.
Robótica. La robótica es una de las áreas de la Tecnología que presenta los retos más estimulantes para los próximos años. A nadie se le escapa la importancia de desarrollar métodos eficientes de visión artificial, por ejemplo. Pero la Teoría del Control está también en el centro de gravedad en este campo. El desarrollo de la robótica depende de manera fundamental de la eficiencia y robustez de los algoritmos computacionales para el control de los robots. No resulta difícil imaginar la complejidad del proceso de control que hace que un robot camine y que lo haga de manera estable o sea capaz de coger con sus "manos" un objeto.

Sistemas energéticos y redes informáticas. Es ya evidente que el planeta presenta una tendencia irreversible a la globalización. Esto es válido en muchos ámbitos: el tráfico áereo, los sistemas de generación y distribución de energía, o las redes informáticas. Esto hace que muchas veces haya que tomar decisiones en ámbitos muy concretos (geográficamente hablando, por ejemplo), con poca información de lo que ocurre en otros, pero siendo conscientes de que éstos pueden influir. De ahí la necesidad de crear métodos y técnicas de control para grandes sistemas interconectados.
Control de la combustión. Se trata de un tema relevante en la industria aeronáutica y aeroespacial en las que se hace imprescindible controlar las inestabilidades en la combustion que, normalmente, viene acompañada de perturbaciones acústicas considerables. En el pasado se ha realizado el énfasis en los aspectos del diseño, modificando la geometría del sistema para interferir la interacción combustión-acústica o incorporando elementos disipativos. El control activo de la combustión mediante mecanismos térmicos o acústicos, es un tema en el que casi todo está por explorar.
Control de Fluidos. La interacción entre el Control y la dinámica de fluidos es en estos momentos muy intensa. Se trata de un problema relevante en aeronáutica puesto que la dinámica estructural del avión (en sus alas, por ejemplo) está acoplada con el flujo del aire en su entorno. Si bien es cierto que en los aviones convencionales se puede en gran medida ignorar este acoplamiento, es muy probable que los aviones del futuro tengan que incorporar mecanismos de control para evitar la aparición de turbulencias en torno a las alas. Desde un punto de vista matemático casi todo está por hacer, tanto en lo que respecta a la modelización, al control y a los aspectos computacionales.
Control de Plasma. La obtención de reacciones de fusión controladas es uno de los mayores retos para resolver los problemas energéticos del planeta. En la actualidad, una de las vías más prometedoras es el de los tokomaks: máquinas en las que se confina el plasma mediante mecanismos electromagnéticos. El problema fundamental es mantener el plasma, de muy alta densidad, a una temperatura muy alta en la configuración deseada durante intervalos de tiempo prolongados a pesar de sus inestabilidades. Esto se realiza a través de sensores mediante los cuales se obtiene la información necesaria para efectuar cambios rápidos y precisos de las corrientes que han de compensar las perturbaciones del plasma. Todavía hay mucho que hacer en este terreno desde el punto de vista matemático. Existen también problemas de identificación importantes en los tokomaks a causa de la dificultad para realizar las mediciones. Se trata pues de un campo que presenta grandes retos para la Teoría Matemática del control y de los problemas inversos.
Procesos de solidificación e industria del acero. El importante e imparable avance de las Ciencias de los Materiales ha producido estudios intensivos de los procesos de solidificación. La forma y la estabilidad de la interfase sólido-líquido es en este ámbito un tema crucial, puesto que una interfase irregular puede ser la causante de la obtención de un producto no deseado. Las fuentes de inestabilidad son diversas: convección, tension superficial,. . . Se han producido avances importantes en la comprensión matemática de las interfases en el campo denominado de los Problemas de Frontera Libre. Desde el punto de vista del Control se plantean dos problemas importantes. Uno, de carácter inverso, consistente en reconstruir la interfase a través de mediciones indirectas y, otro, el de su control a través de mecanismos de calentamiento, de aplicación de campos magnéticos o el éctricos o de rotaciones de la aleación en el horno. La teoría matemática correspondiente puede decirse que no existe. Con el objeto de obtener acero de gran calidad es preciso controlar de manera precisa la temperatura en la fase de enfriamiento. Pero la banda más caliente, sumamente fina, se mueve a una gran velocidad. El diseño de mecanismos de control que tengan en cuenta tanto la velocidad de la banda como del proceso de enfriamiento es otro gran reto.
Investigación biomédica. El diseño de terapias médicas adecuadas depende en gran medida de una comprensión adecuada de la dinámica fisiológica. Se trata de un campo sumamente activo en estos momentos donde casi todo está por hacer desde un punto de vista matemático. La Teoría del Control habrá de jugar también en este terreno un papel importante. Como ejemplo cabe mencionar el diseño de mecanismos de suministro de insulina equipados de "chips" de control.
Hidrología. El problema de la gestión de los recursos hídricos es sin duda sumamente relevante en nuestros días, unas veces porque estos son escasos, otras porque se encuentran contaminados o simplemente por la complejidad de la red de suministros y usuarios tanto domésticos como agrícolas e industriales. Los problemas de control que se plantean son muy diversos. Podemos mencionar al menos dos. Problemas de identificación de parámetros en los que se trata de determinar la ubicación de los sensores que proporcionan información suficiente para una eficiente extracción y suministro, por un lado, y, por otro, el diseño de estrategias de gestión eficientes.
Extracción de recursos naturales. Se están haciendo importantes esfuerzos de modelización y de índole matemática en el área de la simulación de las reservas subterráneas tanto hídricas como minerales o petrolíferas. El objeto es optimizar las estrategias de extracción. Nuevamente se plantean problemas inversos, de análisis y, por ejemplo, de control de la interfase entre el fluido inyectado y el extraído.
Economía. Las Matemáticas están jugando hoy en día un papel activo en el mundo de las finanzas. En efecto, la utilización de modelosmatemáticos para predecir las fluctuaciones de los mercados financieros es algo común. Se trata frecuentemente de modelos estocásticos en los que la Teoría del Control ya existente puede ser de gran utilidad a la hora de diseñar estrategias óptimas de inversión y consumo.
Sistemas de manufacturación. Los grandes sistemas de manufacturación automatizada están diseñados como sistemas flexibles para permitir cambios en la planificación de la producción en atención a la demanda. Pero esta flexibilidad creciente se obtiene a base de sistemas cada vez más complejos. La Teoría Matemática del Control se encuentra en este terreno con retos importantes para el diseño de mecanismos de control computerizados eficientes.
Evaluación de la eficiencia en sistemas computerizados. Los paquetes de "software" que existen en la actualidad para evaluar la eficiencia de los sistemas de computación están basados en su representación a través de la Teoría de Redes. El desarrollo de los sistemas de computación en paralelo y sincronizados hace que estos modelos sean hoy insuficientes. Es necesario desarrollar nuevos modelos, cosa en la que la Teoría Estocástica del Control de sistemas discretos puede ser de gran utilidad.

Control de sistemas asistidos por ordenador. Tal y como mencionamos, los problemas de control a los que nos enfrentamos en la actualidad son de una gran complejidad. Es impensable la obtención de estrategias eficientes de control sin que en estos procesos se cuente con la asistencia de los ordenadores. Es por eso que es importante el diseño de sistemas de control que ya incorporen este aspecto. Se trata de un campo de investigación pluridisciplinar en el que intervienen en particular la Teoría del Control, las Ciencias de la Computación, el Análisis Numérico y la Optimización.

BIBLIOGRAFIA.-
Enrique ZUAZUA Departamento de Matemática Aplicada Universidad Complutense 28040 Madrid. Spain zuazua[arroba]eucmax.sim.ucm.es

El laboratorio de matemáticas como estrategia de aprendizaje

Resumen

El aprendizaje como palabra polisémica es y ha sido definida desde diferentes teorías de la educación, sin embargo, cabe destacar que este implica cambio de actitudes y aptitudes cuando ha sido logrado; para el mismo influyen experiencias vividas dentro y fuera de la escuela, estrategias didácticas, actividades de enseñanza y aprendizaje, ambientes de aprendizaje, motivación, estilos de aprendizaje, estilos de enseñanza cuya finalidad es lograr que el alumno construya su propio aprendizaje en la vida y para la vida como un proceso permanente, flexible y dinámico.


De entre las diferentes asignaturas que se imparten en EMS de la UAEH se encuentra la matemática que implica el logro de ciertas competencias, así la competencia matemática integra el razonamiento lógico matemático a través de terminología, datos, destrezas, procedimientos, formulación y solución de problemas donde el alumno logre satisfacer, resolver y cubrir necesidades tanto personales como sociales.


El laboratorio de matemáticas puede ser visto como una estrategia de enseñanza y aprendizaje; que le permita a los alumnos descubrir, relacionar, aplicar y construir su aprendizaje; porque en definitiva “Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y muy difícil” De Guzmán (2007, p.47).



Para información para la tesis de la universidad completa vaya al siguiente link:


https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/actopan/n7/e3.html